题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知函数且导数.
（1）试用含有的式子表示，并求的单调区间；
（2）对于函数图象上不同的两点，且，如果在函数图像上存在点（其中）使得点处的切线，则称存在“相依切线”.特别地，当时，又称存在“中值相依切线”.试问：在函数上是否存在两点使得它存在“中值相依切线”？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由.

答案

（1）的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）不存在点满足题意. 

解析

(1)求导，根据，可得,然后根据可得
。函数的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）解本题的突破口是假设存在点满足条件,
则,整理得:,
令,则问题转化为方程:有根.
然后构造函数求导解决。
解：(1)，，， …………… 1分  ，（舍去），，……… 2分 函数的单调递增区间为，单调递减区间为.……………… 4分
(2) 假设存在点满足条件,
则,整理得:, ……………… 6分
令,则问题转化为方程:有根,
设,,……………… 9分
函数为上的单调递增函数,且,,
所以不存在使方程成立,
即不存在点满足题意.                         ……………… 12分