题目
题型:不详难度:来源:
(I)当a=18时,求函数的单调区间;
(II)求函数在区间上的最小值.
答案
(2)e2-4e+2-a.
解析
试题分析:解:(1)当a=18时,f(x)=x2-4x-16lnx(x>0),所以f"(x)=2x-4- ,由f"(x)>0,解得x>4或一2<x<0,注意到x>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞).由f"(x)<0,解得0<x<4或x<-2.注意到x>0,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,4).综上所述,函数f(x)的单调递增区间是(4,+∞),单调递减区间是(0.4).(2)当x∈[e,e2]时,f(x)=x2-4x+(2-x)lnx, f"(x)=2x-4+ 设g(x)=2x2-4x+2-a.当a<0时,有△=16-4×2(2-a)=8a<0,此时g(x)>0恒成立,所以f"(x)>0,f(x)在[e,e2]上单调递增,所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a.当a>0时,△=16-4×2(2-a)=8a>0,令f"(x)>0,即2x2-4x+2-a>0,解得x>1+或x<1-令f"(x)<0,即2x2-4x+2-a<0,解得1-<x<.①当≥e2,即a≥2(e2-1)2时,f(x)在区间[e,e2]上单调递减,所以f(x)min=f(e2)=e4-4e2+4-2a;②当e<<e2,即2(e-1)2<a<2(e2-1)2时,在区间[e,]上单调递减,在区间[,e2]上单调递增,所以f(x)min=f()=a-3+(2-a)ln();③当≤e,即0<a≤2(e-1)2时,以f(x)在区间[e,e2]上单调递增,所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a.综上所述,当a≥2(e2-1)2时,f(x)min=e4-4e2+4-2a;当2(e-1)2<a<2(e2-1)2时,f(x)min=-3+(2-a)ln();当a<0或0<a≤2(e-1)2时,f(x)min=e2-4e+2-a.
点评:本题考查函数的单调区间的求法,考查函数的最小值的求法,综合性强,难度大,计算繁琐.解题时要认真审题,注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用。
核心考点
举一反三
A.(-, ) | B.(,-) | C.(-,-) | D.(, ) |
(1)若函数在处的切线方程为,求实数,的值;
(2)若在其定义域内单调递增,求的取值范围.
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