题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝x³－3ax－1，a≠0.若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，则m的取值范围是    ．

答案

(－3,1)

解析

试题分析：因为f（x）在x=-1处取得极大值，所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，在x=1处取得极小值f（1）=-3．因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（-3，1）．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值和利用导数研究图象等问题，属于中档题．