题目
题型:不详难度:来源:
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)求的单调区间;
(3)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.
答案
解析
试题分析:
(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.
(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.
(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.
试题解析:
(1)由已知, 1分
,所以斜率, 2分
又切点,所以切线方程为),即
故曲线在处切线的切线方程为。 3分
(2) 4分
①当时,由于,故,,所以的单调递增区间为.
5分
②当时,由,得. 6分
在区间上,,在区间上,,
所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为. 7分
(3)由已知,转化为. 8分
,所以 9分
由(2)知,当时,在上单调递增,值域为,故不符合题意.
(或者举出反例:存在,故不符合题意.) 10分
当时,在上单调递增,在上单调递减,
故的极大值即为最大值,, 12分
所以,解得. 14分
核心考点
举一反三
(1)若,求的过原点的切线方程.
(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.
(3)证明当时,对任何,有.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线平行,求的值;
(Ⅱ)记,,且.求函数的单调递增区间.
A. | B. | C. | D. |
A.米/秒 | B.米/秒 | C.米/秒 | D.米/秒 |
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