题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：1-）为0.8，要求洗完后的清洁度是0.99。有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为a（1≤a≤3）。设用x单位质量的水初次清洗后的清洁度是（x＞a-1），用y质量的水第二次清洗后的清洁度是，其中c（0.8＜c＜0.99）是该物体初次清洗后的清洁度，
（Ⅰ）分别求出方案甲以及c=0.95时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少；
（Ⅱ）若采用方案乙，当a为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论a取不同数值时对最少总用水量多少的影响。

答案

解：（Ⅰ）设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z，
由题设有=0.99，解得x=19，
由c=0.95得方案乙初次用水量为3，
第二次用水量y满足方程：，
解得y=4a，故z=4a+3，
即两种方案的用水量分别为19与4a+3，
因为当1≤a≤3时，，即x＞z，故方案乙的用水量较少；
（Ⅱ）设初次与第二次清洗的用水量分别为x与y，
类似（Ⅰ）得（*）
于是，
当a为定值时，，
当且仅当时等号成立，
此时，
将代入（*）式得，
故时总用水量最少，
此时第一次与第二次用水量分别为，最少总用水量是；
当1≤a≤3时，，故T（a）是增函数，
这说明，随着a的值的最少总用水量，最少总用水量最少总用水量。