题目

题型：不详难度：来源：

已知f(n)=1+

1

23

+

1

33

+

1

43

…+

1

n3

，g(n)=

3

2

-

1

2n2

，n∈N^*．
（1）当n=1，2，3时，试比较f（n）与g（n）的大小关系；
（2）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并给出证明．

答案

（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；
当n=2时，f(2)=

9

8

，g(2)=

11

8

，
所以f（2）＜g（2）；
当n=3时，f(3)=

251

216

，g(3)=

312

216

，
所以f（3）＜g（3）．
（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：
①当n=1，2，3时，不等式显然成立．
②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，
即1+

1

23

+

1

33

+

1

43

+

1

k3

＜

3

2

-

1

2k2

，
那么，当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+

1

(k+1)3

＜

3

2

-

1

2k2

+

1

(k+1)3

，
因为

1

2(k+1)2

-(

1

2k2

-

1

(k+1)3

)=

k+3

2(k+1)3

-

1

2k2

=

-3k-1

2(k+1)3k2

＜0，
所以f(k+1)＜

3

2

-

1

2(k+1)2

=g(k+1)．
由①、②可知，对一切n∈N^*，都有f（n）≤g（n）成立．