题目

题型：湖南省高考真题难度：来源：

自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x₁＞0。不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c。
（1）求x_n+1与x_n的关系式；
（2）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）　 （3）设a=2，b=1，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论。

答案

解：（1）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为
因此
即。
（2）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁，n∈N*，从而由（*）式得
 恒等于0，n∈N*
所以，即
因为x₁>0，
所以a>b
猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变。
（3）若b的值使得x_n>0，n∈N*
由x_n+1=x_n（3-b-x_n），n∈N*，
知0＜x_n＜3-b，n∈N*，
特别地，有0＜x₁＜3-b
即0＜b＜3-x₁
而x₁∈（0，2），
所以
由此猜测b的最大允许值是1
下证当x₁∈（0，2），b=1时，都有x_n∈（0，2），n∈N*
①当n=1时，结论显然成立；
②假设当n=k时结论成立，即x_k∈（0，2），
则当n=k+1时，x_k+1=x_k（2-x_k）>0
又因为x_k+1=x_k（2-x_k）=-（x_k-1）²+1≤1＜2，
所以x_k+1∈（0，2），故当n=k+1时结论也成立
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈（0，2）
综上所述，为保证对任意x₁∈（0，2），都有x_n>0，n∈N*，
则捕捞强度b的最大允许值是1。