题目

题型：广西自治区月考题难度：来源：

已知函数f（x）=（x-1）²，g（x）=4（x-1），数列{a_n}满足a₁=2，且（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0．
（1）试探究数列{a_n-1}是否是等比数列；
（2）试证明；
（3）设b_n=3f（a_n）﹣g（a_n+1），试探究数列{b_n}是否存在最大项和最小项．若存在求出最大项和最小项，若不存在，说明理由．

答案

解：（1）由（a_n+1﹣a_n）g（a_n）+f（a_n）=0
得4（a_n+1﹣a_n）（a_n﹣1）+（a_n﹣1）²=0
化得：（a_n﹣1）（4a_n+1﹣4a_n+a_n﹣1）=0，?a_n﹣1=0或4a_n+1﹣4a_n+a_n﹣1=0，
由已知a₁=2，∴a_n﹣1=0（舍去）．
∴4a_n+1﹣4a_n+a_n﹣1=0得4a_n+1=3a_n+1
从而有：a_n+1﹣1=
∴数列{a_n﹣1}是首项为a₁﹣1=1，公比为的等比数列
∴a_n﹣1=，
∴数列{a_n}通项公式为a_n=+1．
（2）由（1）知=+n=4[1﹣]+n
∵对?n∈N*，有，
∴，
∴+n≥1+n，
即
（3）由b_n=3f（a_n）﹣g（a_n+1）得b_n=3（a_n﹣1）²﹣4（a_n+1﹣1）
∴=
令，则0＜u≤1，
b_n=3（u²﹣u）=
∵函数在上为增函数，在上为减函数
当n=1时u=1，
当n=2时，
当n=3时，=，
当n=4时，
∵，且
∴当n=3时，b_n有最小值，即数列{b_n} 有最小项，最小项为
当n=1即u=1时，b_n有最大值，即有最大项，最大项为b₁=3（1﹣1）=0．