题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)（n∈N^*）．
（1）设bn=

1+24an

，求证：{b_n-3}成等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

答案

（1）由bn=

1+24an

，得an=

b 2n -1

24

，
代入an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)，
得

b 2n+1 -1

24

=

1

16

(1+4×

b 2n -1

24

+bn)⇒4

b

2n+1

=(bn+3)2，
∴2b_n+1=b_n+3．…（5分）
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，又b1=

1+24×1

=5，则b₁-3=2≠0．…（7分）
∴{b_n-3}是以2为首项，

1

2

为公比的等比数列．…（8分）
（2）由（1）得bn-3=

1

2n-2

，∴bn=

1

2n-2

+3，…（10分）
则an=

b 2n -1

24

=

2

3

×

1

4n

+

1

2n+2

+

1

3

．…（13分）