题目
题型:不详难度:来源:
已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2-(+1)an(n≥1).
(1)求证:数列{}是等比数列;
(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn,An=.试比较An与的大小。
答案
由Sn=2-(+1)an得Sn-1=2-(+1)an-1,
于是an=Sn- Sn-1=(+1)an-1-(+1)an,
整理得=×(n≥2), 4分
所以数列{}是首项及公比均为的等比数列. 5分
(2)由(Ⅰ)得=×=. 6分
于是2nan=n,Tn=1+2+3+…+n=, 7分
,
An=2[(1-)+(-)+…+=2(1-)=.
9分
又=,问题转化为比较与的大小,即与的大小.
设f(n)= ,g(n)=.
∵f(n+1)-f(n)=,当n≥3时, f(n+1)-f(n)>0,
∴当n≥3时f(n)单调递增, 11分
∴当n≥4时,f(n) ≥f(4)=1,而g(n)<1, ∴当n≥4时f(n) >g(n),
经检验n=1,2,3时,仍有f(n) ≥g(n),
因此,对任意正整数n,都有f(n) >g(n),
即An <. 13分
解析
核心考点
试题【(本小题满分13分)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2-(+1)an(n≥1).(1)求证:数列{}是等比数列;(2)设数列{2nan}的前n项和为Tn】;主要考察你对等比数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
若,则数列的个数为
A.个. | B.个. | C.个. | D.无穷多个. |
等于 。
A. | B. | C. | D.不存在 |
已知数列满足,且,为的前项和.
(Ⅰ)求证:数列是等比数列,并求的通项公式;
(Ⅱ)如果对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
数列的前项和记为,,点在直线上,.
(Ⅰ)当实数为何值时,数列是等比数列?
(Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设,是数列的前项和,求的值.
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