题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分16分）数列{a_n}的前n项和为S_n(n∈N*)，点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上.
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由.

答案

(1)c=3； (2)×-3；(3)不存在。

解析

试题分析：（Ⅰ）由“点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．”可得S_n=2a_n-3n，由通项和前n项和关系可得a_n+1=2a_n+3，变形为a_n+1+3=2（a_n+3）符合等比数列的定义，从而可确定c=3.
（Ⅱ）由（I）根据等比数列通项公式求解有a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ整理可得a_n=3•2ⁿ-3
（Ⅲ）先假设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列根据等差中项有2a_p=a_s+a_r，再用通项公式展开整理有2^p-s+1=1+2^r-s∵因为s、p、r∈N^*且s＜p＜r所以2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数，奇数与偶数不会相等的．所以不存在．
点评：数列与函数的综合运用，主要涉及了通项与前n项和的关系，构造等比数列，求通项，等差中项及数域问题．