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题目
题型:不详难度:来源:
设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*,P>0).数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.
(Ⅰ)若p=
1
2
,q=-
1
3
,求b3
(Ⅱ)若p=2,q=-1,求数列{bm}的前2m项和公式;
(Ⅲ)是否存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*)?如果存在,求p和q的取值范围;如果不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由题意,得an=
1
2
n-
1
3

1
2
n-
1
3
≥3
,得n≥
20
3

1
2
n-
1
3
≥3
成立的所有n中的最小正整数为7,即b3=7.

(Ⅱ)由题意,得an=2n-1,
对于正整数m,由an≥m,得n≥
m+1
2

根据bm的定义可知
当m=2k-1时,bm=k(k∈N*);
当m=2k时,bm=k+1(k∈N*).
∴b1+b2+…+b2m=(b1+b3+…+b2m-1)+(b2+b4+…+b2m)=(1+2+3+…+m)+[2+3+4+…+(m+1)]=
m(m+1)
2
+
m(m+3)
2
=m2+2m


(Ⅲ)假设存在p和q满足条件,由不等式pn+q≥m及p>0得n≥
m-q
p

∵bm=3m+2(m∈N*),根据bm的定义可知,对于任意的正整数m都有3m+1<
m-q
p
≤3m+2

即-2p-q≤(3p-1)m<-p-q对任意的正整数m都成立.
当3p-1>0(或3p-1<0)时,得m<-
p+q
3p-1
(或m≤-
2p+q
3p-1
),这与上述结论矛盾!
当3p-1=0,即p=
1
3
时,得-
2
3
-q≤0<-
1
3
-q

解得-
2
3
≤q<-
1
3
.(经检验符合题意)
∴存在p和q,使得bm=3m+2(m∈N*);p和q的取值范围分别是p=
1
3
-
2
3
≤q<-
1
3
核心考点
试题【设数列{an}的通项公式为an=pn+q(n∈N*,P>0).数列{bn}定义如下:对于正整数m,bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值.(Ⅰ)若p=1】;主要考察你对等差数列的前N项和等知识点的理解。[详细]
举一反三
等差数列{an}中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4.记Sn=a1+a2+…+an,则S13等于______.
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设等差数列{an}的前n项和为sn,已知a3=12,且s12>0,s13<0.
(1)求公差d的范围;
(2)问前几项和最大?并求最大值.
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等差数列{an}的前n项和记为Sn,已知a1=12,a10=30.
(1)求通项an
(2)若Sn=242,求n的值.
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数列{an}中,前n项和Sn=-n2-3,n∈N*,则{an}的通项公式为an=______.
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等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3+a7+a11=12,则S13等于(  )
A.52B.54C.56D.58
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