题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}滿足，证明：数列{b_n}是等差数列；
（3）证明：（n∈N*）。

答案

解：（1））∵a_n+1=2a_n+1（n∈N*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+1=2ⁿ
即a_n=2ⁿ-1（n∈N*）。
（2）∵
∴
∴2[（b₁+b₂+…+b_n）-n]=nb_n，①
2[（b₁+b₂+…+b_n+b_n+1）-（n+1）]=（n+1）b_n+1 ②
②-①，得2（b_n+1-1）=（n+1）b_n+1-nb_n，
即（n-1）b_n+1-nb_n+2=0，③
nb_n+2-（n+1）b_n+1+2=0 ④
③-④，得nb_n+2-2nb_n+1+nb_n=0，
即b_n+2-2b_n+1+b_n=0，
∴b_n+2-b_n+1=b_n+1-b_n（n∈N*），
∴{b_n}是等差数列。
（3）∵，k=1，2，3，···，n
∴
∵，k=1，2，3，···，n
∴
∴。