题目

题型：不详难度：来源：

已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，．设的前项和为.
（1）计算，并求数列的通项公式；
（2）求满足的的集合.

答案

（1）（2）

解析

(1)先求出数列的通项公式是求解本题的关键.由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列.
（2）在第（1）问的基础上，可求出{}的通项公式，进而求出的通项公式.
然后再根据通项公式的特点采用数列求和的方法求和,之后再确定s_n的单调性进而确定其取值范围.
解：（1）在中，取，得，又，，故同样取可得……………………分
由及两式相减可得：，所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，故是公差为的等差数列，……………………分
注：猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分.
（2）在中令得……………………分
又，与两式相减可得：，，即当时， 
经检验，也符合该式，所以，的通项公式为………………9分
.

相减可得：
利用等比数列求和公式并化简得：……………………11分
可见，，……………………12分
经计算，，注意到 的各项为正，故单调递增，所以满足的的集合为……………………14分.