题目
题型:不详难度:来源:
命题:是等差数列;命题:等式对任意()恒成立,其中是常数。
⑴若是的充分条件,求的值;
⑵对于⑴中的与,问是否为的必要条件,请说明理由;
⑶若为真命题,对于给定的正整数()和正数M,数列满足条件,试求的最大值。
答案
解析
试题分析:(1)是等差数列,和可以用裂项相消法求出,等式就变为关于的恒等式,利用恒等式的知识可求出;(2)等式对任意()恒成立,等式左边是一个和式,相当于一个新数列的前项和,处理方法是把式子中的用代换后,两式相减,本题中得到,这个式子可整理为,这是关于的恒等式,因此
,即, 这就说明为等差数列,得证,解题时还要注意对的初始值是否成立;(3)已知条件为等差数列中,要求的最大值,为了能对数列进行处理,我们利用三角换元法,对已知条件变换,设设,(),这样数列的公差就可求出,从而也就能求出前项和,,再利用三角函数的最大值为,就能求出的最大值.
试题解析:(1)设的公差为,则原等式可化为
,所以,
即对于恒成立,所以. 4分
(2)当时,假设为的必要条件,即“若①对于任意的()恒成立,则为等差数列”,
当时,显然成立, 6分
当时,②,由①-②得:,
即③,
当时,,即成等差数列,
当时,④,由③④得,所以为等差数列,即是的必要条件. 10分
(3)由,可设,所以.
设数列的公差为,则,所以,
所以,
,
所以的最大值为. 16分的最大值问题.
核心考点
试题【设是各项均为非零实数的数列的前项和,给出如下两个命题上:命题:是等差数列;命题:等式对任意()恒成立,其中是常数。⑴若是的充分条件,求的值;⑵对于⑴中的与,问是】;主要考察你对等差数列等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设是以函数的最小正周期为首项,以为公比的等比数列,求数列的前项和.
(1)求数列的通项公式;
(2)数列满足,求证:
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