题目

题型：不详难度：来源：

各项均为正数的数列{a_n}满足a_n²＝4S_n－2a_n－1(n∈N^*)，其中S_n为{a_n}的前n项和．
(1)求a₁，a₂的值；
(2)求数列{a_n}的通项公式；
(3)是否存在正整数m、n，使得向量a＝(2a_n＋2，m)与向量b＝(－a_n＋5,3＋a_n)垂直？说明理由．

答案

(1) a₁＝1  a₂＝3  (2) a_n＝2n－1   (3)见解析

解析

解：(1)当n＝1时，
A₁²＝4S₁－2a₁－1＝2a₂－1，
即(a₁－1)²＝0，解得a₁＝1.
当n＝2时，a₂²＝4S₂－2a₂－1＝4a₁＋2a₂－1＝3＋2a₂，
解得a₂＝3或a₂＝－1(舍去)．
(2)a_n²＝4S_n－2a_n－1，①
An+1²＝4S_n＋1－2a_n＋1－1.②
②－①得：a n+1²－a_n²＝4a_n＋1－2a_n＋1＋2a_n
＝2(a_n＋1＋a_n)，
即(a_n＋1－a_n)(a_n＋1＋a_n)＝2(a_n＋1＋a_n)．
∵数列{a_n}各项均为正数，
∴a_n＋1＋a_n>0，a_n＋1－a_n＝2，
∴数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a_n＝2n－1.
(3)∵a_n＝2n－1，
∴a＝(2a_n＋2，m)＝(2(2n＋3)，m)≠0，b＝(－a_n＋5,3＋a_n)＝(－(2n＋9)，2(n＋1))≠0，
∴a⊥b⇔a·b＝0
⇔m(n＋1)＝(2n＋3)(2n＋9)＝[2(n＋1)＋1][2(n＋1)＋7]
⇔m(n＋1)＝4(n＋1)²＋16(n＋1)＋7
⇔m＝4(n＋1)＋16＋.
∵m，n∈N^*，
∴n＋1＝7，m＝4×7＋16＋1，
即n＝6，m＝45.
∴当n＝6，m＝45时，a⊥b.