题目

题型：不详难度：来源：

已知数列{a_n}满足a₁＝a(a＞0，a∈N^*)，a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N^*)．
(1)求数列{a_n}的通项公式a_n；
(2)若对每一个正整数k，若将a_k＋1，a_k＋2，a_k＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d_k.①求p的值及对应的数列{d_k}．
②记S_k为数列{d_k}的前k项和，问是否存在a，使得S_k＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．

答案

（1）a_n＝（2）①p＝－，d_k＝9a·2^k－1或p＝－，d_k＝^k－1②a＝13.

解析

(1)因为a₁＋a₂＋…＋a_n－pa_n＋1＝0，所以n≥2时，a₁＋a₂＋…＋a_n－1－pa_n＝0，两式相减，得 (n≥2)，故数列{a_n}从第二项起是公比为的等比数列，又当n＝1时，a₁－pa₂＝0，解得a₂＝，
从而a_n＝
(2)①由(1)得a_k＋1＝^k－1，a_k＋2＝^k，a_k＋3＝^k＋1，
若a_k＋1为等差中项，则2a_k＋1＝a_k＋2＋a_k＋3，
即＝1或＝－2，解得p＝－；
此时a_k＋1＝－3a(－2)^k－1，a_k＋2＝－3a(－2)^k，
所以d_k＝|a_k＋1－a_k＋2|＝9a·2^k－1，
若a_k＋2为等差中项，则2a_k＋2＝a_k＋1＋a_k＋3，即＝1，此时无解；
若a_k＋3为等差中项，则2a_k＋3＝a_k＋1＋a_k＋2，即＝1或＝－，
解得p＝－，
此时a_k＋1＝－^k－1，a_k＋3＝－^k＋1，所以d_k＝|a_k＋1－a_k＋3|＝^k－1，
综上所述，p＝－，d_k＝9a·2^k－1或p＝－，d_k＝^k－1.
②当p＝－时，S_k＝9a(2^k－1)．
则由S_k＜30，得a＜，
当k≥3时，＜1，所以必定有a＜1，
所以不存在这样的最大正整数．
当p＝－时，S_k＝，
则由S_k＜30，得a＜，因为＞，所以a＝13满足S_k＜30恒成立；但当a＝14时，存在k＝5，使得a＞即S_k＜30，
所以此时满足题意的最大正整数a＝13