题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知有穷数列A：a₁，a₂，…，a_n，(n≥2)，若数列A中各项都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，则称该数列为Γ数列。对于Γ数列A，定义如下操作过程T：从A中任取两项a_i，a_j，将的值添在A的最后，然后删除a_i，a_j，这样得到一个n-1项的新数列A₁(约定：一个数也视作数列)。若A₁还是Γ数列，可继续实施操作过程T，得到的新数列记作A₂，…，如此经过k次操作后得到的新数列记作A_k，
（Ⅰ）设A：0，，请写出A₁的所有可能的结果；
（Ⅱ）求证：对于一个n项的Γ数列A操作T总可以进行n-1次；
（Ⅲ）设A：，求A₉的可能结果，并说明理由.

答案

解：（Ⅰ）A₁有如下的三种可能结果：A₁：；A₁：；A₁：。
（Ⅱ），
有且，
所以，即每次操作后新数列仍是Γ数列，
又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A每操作一次，项数就减少一项，所以对n项的Γ数列A可进行n-1次操作（最后只剩下一项）。
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A₉中仅有一项，
对于满足的实数a，b定义运算：，
下面证明这种运算满足交换律和结合律。
因为，且，所以，即该运算满足交换律；
因为
且，
所以，即该运算满足结合律；
所以A₉中的项与实施的具体操作过程无关；
选择如下操作过程求A₉：由（Ⅰ）可知；
易知；；；；
所以A₉：，0，0，0，0；
易知A₉经过4次操作后剩下一项为，
综上可知：A₉：。