在数列{an}中，an=1+22+33+…+nn，n∈N*．在数列{bn}中，bn=cos（an•π），n∈N*．则b2008-b2009=______． - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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在数列{a_n}中，a_n=1+2²+3³+…+nⁿ，n∈N^*．在数列{b_n}中，b_n=cos（a_n•π），n∈N^*．则b₂₀₀₈-b₂₀₀₉=______．

答案

a_n=1+2²+3³+…+nⁿ，n∈N^*．有如下规律：
当n=4K，K∈N*时，必定是偶数，因此b_n=cos（a_n•π）=1，
而当n=4K+1，K∈N*时，必定是奇数，因此b_n=cos（a_n•π）=-1，
而2008=4×502，2009=4×502+1，
因此b₂₀₀₈=1，b₂₀₀₉=-1
所以b₂₀₀₈-b₂₀₀₉═2
故答案为2

核心考点

试题【在数列{an}中，an=1+22+33+…+nn，n∈N*．在数列{bn}中，bn=cos（an•π），n∈N*．则b2008-b2009=______．】；主要考察你对数列的概念与表示方法等知识点的理解。[详细]

举一反三

数列{a_n}中，a₁=3，a₂=7，当n≥1时，a_n+2等于a_na_n+1的个位数，则该数列的第2010项是______．

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f（x）是定义在R上的函数，且f（x+3）≤f（x）+3，f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=2，若a_n=f（n），（n∈N^*），则a₂₀₁₁=______．

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给定项数为m（m∈N^*，m≥3）的数列{a_n}，其中a_i∈{0，1}（i=1，2，…，m）．若存在一个正整数k（2≤k≤m-1），若数列{a_n}中存在连续的k项和该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列{a_n}是“k阶可重复数列”，例如数列{a_n}：0，1，1，0，1，1，0．因为a₁，a₂，a₃，a₄与a₄，a₅，a₆，a₇按次序对应相等，所以数列{a_n}是“4阶可重复数列”．
（Ⅰ）分别判断下列数列
①{b_n}：0，0，0，1，1，0，0，1，1，0．
②{c_n}：1，1，1，1，1，0，1，1，1，1．是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
（Ⅱ）若数为m的数列{a_n}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由；
（Ⅲ）假设数列{a_n}不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项a_m后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且a₄=1，求数列{a_n}的最后一项a_m的值．

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已知S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=a，a_n+1=S_n+3ⁿ，
（1）若b_n=S_n-3ⁿ，求{b_n}的通项公式；
（2）若a_n+1≥a_n恒成立，求a取值范围．

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已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，

）在直线y=

上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

(2an-11)(2bn-1)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n及使不等式T_n＜

2012

对一切n都成立的最小正整数k的值；
（3）设f（n）=

an(n=2l-1，l∈N*)

bn(n=2l，n∈N*)

问是否存在m∈N^*，使得f（m+15）=5f（m）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

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