题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若数列,试写出数列;若数列,试写出数列;
(Ⅱ)证明存在唯一的数列,经过有限次变换,可将数列变为数列;
(Ⅲ)若数列,经过有限次变换,可变为数列.设,,求证,其中表示不超过的最大整数.
答案
解:(Ⅰ)若,则;; ;
; .
若,则 ; ; ; . ………4分
(Ⅱ)先证存在性,若数列满足及,则定义变换,变换将数列变为数列:.
易知和是互逆变换. ………5分
对于数列连续实施变换(一直不能再作变换为止)得
,
则必有(若,则还可作变换).反过来对作有限次变换,即可还原为数列,因此存在数列满足条件.
下用数学归纳法证唯一性:当是显然的,假设唯一性对成立,考虑的情形.
假设存在两个数列及均可经过有限次变换,变为,这里,
若,则由变换的定义,不能变为;
若,则,经过一次变换,有
由于,可知(至少3个1)不可能变为.
所以,同理令,
,
则,所以,.
因为,
,
故由归纳假设,有,.
再由与互逆,有
,
,
所以,,从而唯一性得证. ………9分
(Ⅲ)显然,这是由于若对某个,,则由变换的定义可知, 通过变换,不能变为.由变换的定义可知数列每经过一次变换,的值或者不变,或者减少,由于数列经有限次变换,变为数列时,有,,
所以为整数,于是,,
所以为除以后所得的余数,即.………13分
解析
核心考点
试题【已知各项均为非负整数的数列 ,满足,.若存在最小的正整数,使得,则可定义变换,变换将数列变为数列.设,.(Ⅰ)若数列,试写出数列;若数列,试写出数列;(Ⅱ)证明】;主要考察你对数列的概念与表示方法等知识点的理解。[详细]
举一反三
13+23+33+43=(1+2+3+4)2,……试猜想13+23+33+…+n3= ()
(1)求的值;
(2)猜想的表达式。
则上起第2012行,左起第2012列的数应为( )
A. | B. | C. | D. |
A. | B. |
C. | D. |
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