题目

题型：广州一模难度：来源：

若对一切θ∈R，复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i的模不超过2，则实数a的取值范围为（　　）

A．[- 5 5 ， 5 5 ]

B．[- 3 5 ， 3 5 ]

C．[- 5 3 ， 5 3 ]

D．（- 5 5 ， 5 5 ）

答案

∵复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）
∴|z|=

(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2

=

2acosθ-4asinθ+5a2+1

≤2，
∴2acosθ-4asinθ+5a²≤3对一切θ∈R都成立，
∴2a（cosθ-2sinθ）≤3-5a²都成立，
∴2a

5

cos（θ+α）≤3-5a²恒成立，
∴2

5

|a|≤3-5a²
∴|a|≤

5

5

，
∴a的取值范围是[-

5

5

，

5

5

]
故选A．