题目

题型：不详难度：来源：

已知z为虚数，z+

9

z-2

为实数．
（1）若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）求|z-4|的取值范围．

答案

（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi，
由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分）
则 z+

9

z-2

=2+yi+

9

yi

=2+(y-

9

y

)i∈R，…（4分）
得y-

9

y

=0，y=±3，…（6分）   所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分）
（2）∵z+

9

z-2

=x+yi+

9

x+yi-2

=x+

9(x-2)

(x-2)2+y2

+[y-

9y

(x-2)2+y2

]i∈R，
∴y-

9y

(x-2)2+y2

=0，∵y≠0，∴（x-2）²+y²=9，…（10分）
由（x-2）²＜9得x∈（-1，5），…（12分）
∴|z-4|=|x+yi-4|=

(x-4)2+y2

=

(x-4)2+9-(x-2)2

=

21-4x

∈(1，5)．…（15分）