题目

题型：不详难度：来源：

已知A，B，C是△ABC的三个内角，且向量a=cos

A-B

2

i+

5

2

sin

A+B

2

j的长度为|a|=

3 2

4

，其中i，j分别是x轴，y轴上的单位向量．
（1）求证：tanA•tanB是定值；
（2）求tan（A+B）的最小值．

答案

（1）由题意i²=1，j²=1，i•j=0，
则|a|2=i2cos2

A-B

2

+

5

4

j2sin2

A+B

2

+

2

i•jcos

A-B

2

sin

A+B

2

=cos2

A-B

2

+

5

4

sin2

A+B

2

=

1+cos(A-B)

2

+

5

4

•

1-cos(A+B)

2

而|a|=

3 2

4

，则

1+cos(A-B)

2

+

5

4

•

1-cos(A+B)

2

=

9

8

即4cos（A-B）=5cos（A+B），
4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，cosAcosB=9sinAsinB，

sinAsinB

cosAcosB

=

1

9

，即tanAtanB=

1

9

．
（2）由tanAtanB=

1

9

＞0，且A，B，C是△ABC的三个内角，
知tanA＞0，tanB＞0，
则tan(A+B)=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

tanA+tanB

1- 1 9

=

9

8

(tanA+tanB)≥

9

8

×2

tanAtanB

=

9

8

×2×

1 9

=

3

4

，
当且仅当tanA=tanB=

1

3

时，tan（A+B）的最小值为

3

4

．