题目

题型：0110 期末题难度：来源：

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为。
（1）求 f（）的值；
（2）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间。

答案

解：（1）f（x）=
=
=2sin（-）
因为f（x）为偶函数，
所以对x∈R，f（-x）=f（x）恒成立，
因此sin（--）=sin（-）
即-sincos（-）+cossin（-）
=sincos（-）+cossin（-），
整理得sincos（-）=0
因为＞0，且x∈R，
所以cos（-）=0
又因为0＜＜π，
故-=
所以f（x）=2sin（+）=2cos
由题意得，
所以=2
故f（x）=2cos2x。
所以。
（2）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，
再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象
所以，
当2kπ≤≤2kπ+π（k∈Z），即4kπ+≤x≤4kπ+（k∈Z）时，g（x）单调递减
因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）。