题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）的图象过点（

π

4

，-

1

2

），它的导函数f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的图象的一部分如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，为了得到函
数f（x）的图象，只要将函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）

A．向左平移 π 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度

B．向左平移 π 6 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向上平移一个单位长度

C．向左平移 π 3 个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度

D．向左平移 π 3 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向上平移一个单位长度

答案

∵f′（x）=Acos（ωx+φ），
∴由图知，A=2，

3

4

T=

π

3

+

5π

12

=

3

4

π，
∴T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
又

π

3

ω+φ=π+2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ+

π

3

（k∈Z），又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

3

．
∴f′（x）=2cos（2x+

π

3

）．
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）+b．
∵函数f（x）的图象过点（

π

4

，-

1

2

），
∴sin（2×

π

4

+

π

3

）+b=-

1

2

，
∴b=-1．
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）-1．
∴为了得到函数f（x）sin（2x+

π

3

）-1的图象，
只要将函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点：向左平移

π

3

个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的

1

2

倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度即可．
故选C．