题目

题型：陕西难度：来源：

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为

π

2

，且图象上一个最低点为M(

2π

3

，-2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[

π

12

，

π

2

]，求f（x）的值域．

答案

（1）由最低点为M(

2π

3

，-2)得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为

π

2

得

T

2

=

π

2

，
即T=π，ω=

2π

T

=

2π

π

=2
由点M(

2π

3

，-2)在图象上的2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，即sin(

4π

3

+φ)=-1
故

4π

3

+φ=2kπ-

π

2

，k∈Z∴φ=2kπ-

11π

6

又φ∈(0，

π

2

)，∴φ=

π

6

，故f(x)=2sin(2x+

π

6

)
（2）∵x∈[

π

12

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，f（x）取得最大值2；当2x+

π

6

=

7π

6

即x=

π

2

时，f（x）取得最小值-1，
故f（x）的值域为[-1，2]