题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，其中且.设.
（I）若，，，求方程在区间内的解集；
（II）若点是曲线上的动点.当时，设函数的值域为集合，不等式的解集为集合. 若恒成立，求实数的最大值；
（III）根据本题条件我们可以知道，函数的性质取决于变量、和的值. 当时，试写出一个条件，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.【说明：请写出你的分析过程.本小题将根据你对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分.】

答案

（I）在内的解集为
（II）的最大值. 
（III）使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”的充要条件是“当时，（）或当时，（）”.

解析

解：（I）由题意，…………………………1分
当，，时，，…2分
，则有或，.
即或，.                        ……………4分
又因为，故在内的解集为.……5分
（II）由题意，是曲线上的动点，故.   ……………6分
因此，，
所以，的值域.  ……………8分
又的解为0和，故要使恒成立，只需
，而，
即，所以的最大值.             …………………10分
（III）解：因为，
设周期.
由于函数须满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”.
因此，根据三角函数的图像特征可知，
，.
又因为，形如的函数的图像的对称中心都是的零点，故需满足，而当，时，
因为，；所以当且仅当，时，的图像关于点对称；此时，，.
（i）当时，，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；
（ii）当时，，进一步要使处取得最小值，则有，；又，则有，；因此，由可得，；
综上，使得函数满足“图像关于点对称，且在处取得最小值”的充要条件是“当时，（）或当时，（）”.              ……………………………………………………14分
（第III小题将根据学生对问题探究的完整性和在研究过程中所体现的思维层次，给予不同的评分）