题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数与的解析式
(Ⅱ)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数,若不存在,说明理由;
(Ⅲ)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点
答案
解析
又曲线的一个对称中心为,
故,得,所以
将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数
(Ⅱ)当时,,
所以
问题转化为方程在内是否有解
设,
则
因为,所以,在内单调递增
又,
且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,
即存在唯一的满足题意
(Ⅲ)依题意,,令
当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,
现研究时方程解的情况
令,
则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况
,令,得或
当变化时,和变化情况如下表
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
当且趋近于时,趋向于
故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;
当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点
由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以
综上,当,时,函数在内恰有个零点
三角函数解析式的确定相对而言应该比较容易,也就是说即使是20题的第一问往往难度也不会太大,而我们同学可能因为时间的关系而丢掉了捡分的机会,所以建议大家可以先试看看此问是否熟悉,再做整体规划。三角函数的图像变换要千万注意左右平移只对x而言。而第二问对于是否等比的转化是处理的关键,所以函数思想无处不在,要善于运用。第三问从特殊到一般的思想是此问的灵魂,而此法的选择也因为参数分离后三角函数的周期性,所以万物皆有联系,只是平时要练就一双慧眼就不简单了。
【考点定位】 本题考查了三角函数的性质、恒等变换、图像以及函数的零点。将函数的所有性质依托于三角函数展示,并且对多方面能力的综合考查。属于难题,但第一问是送给学生的。
核心考点
试题【已知函数的周期为,图象的一个对称中心为,将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象。(Ⅰ)求函数】;主要考察你对正弦函数的图象与性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B.1 | C.2 | D.4 |
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)在中,角所对的边分别是若且,试判断的形状.
A.向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) |
B.向左平移个单位,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变) |
C.向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变) |
D.向左平移个单位,再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变) |
A.[(2k+1)π,2(k+1)π] | B.[(k+)π,(k+1)π] |
C.[kπ,(k+) π] | D.[2kπ, (2k+1)π] |
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