题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．tanA=

3 bc

b2+c2-a2

．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．

答案

（Ⅰ）由余弦定理知，b²+c²-a²=2bccosA，
∴tanA=

3

2cosA

⇒sinA=

3

2

，
∵A∈(0，

π

2

)，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且B+C=

2π

3

，
∴

π

6

＜B=

2π

3

-C＜

π

2

，
∴cosB+cosC=cosB+cos(

2π

3

-B)
=cosB+cos

2π

3

cosB+sin

2π

3

sinB
=

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin(B+

π

6

)，
∵

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin(B+

π

6

)≤1，
即cosB+cosC的取值范围是(

3

2

，1]．