题目

题型：单选题难度：一般来源：安徽

在△ABC中，已知tan

A+B

2

=sinC，给出以下四个论断：
①tanA•cotB=1，
②1＜sinA+sinB≤

2

，
③sin²A+cos²B=1，
④cos²A+cos²B=sin²C，
其中正确的是（　　）

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

答案

∵tan

A+B

2

=sinC
∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

整理求得cos（A+B）=0
∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

sin（A+45°）
45°＜A+45°＜135°，

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤

2

，
所以②正确
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C．
所以④正确．
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A=1不一定成立，故③不正确．
综上知②④正确
故选B．