题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数,F(x)＝f(x)f′(x)＋f²(x)
(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及单调区间；
(Ⅱ)求函数F(x)在上的值域；
(Ⅲ)若f(x)＝2f′(x)，求的值．

答案

（Ⅰ)T＝π.单调递增区间:单调递减区间:
（Ⅱ）[1，1＋]；（Ⅲ）.

解析

试题分析：(I)将函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f²(x)化一可得：F(x)＝1＋sin(2x＋)，由此可得F(x)的最小正周期及单调区间.(Ⅱ) 由得这样可得sin(2x＋)的范围，从而得函数F(x)的值域.
(Ⅲ)由f(x)＝2f′(x),得：sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，由此可得tanx的值.
将化为只含tanx式子，将tanx.的值代入即可.
试题解析：(I)∵f′(x)＝cosx－sinx，
∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f²(x)＝cos²x－sin²x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)，
最小正周期为T＝＝π.
单调递增区间:单调递减区间: .      4分
(Ⅱ)由得
所以，所以函数F(x)的值域为[1，1＋].             8分
(Ⅲ)∵f(x)＝2f′(x), ∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，
∴cosx＝3sinx, ∴tanx＝，
∴＝＝＝＝.                13分
考点:1、三角变换；2、三角函数的单调性和范围；3、三角函数同角关系式.