题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知cosβ=-

1

3

，sin（α+β）=

7

9

，α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π）．
（1）求cos2β的值；
（2）求sinα的值．

答案

（1）∵cosβ=-

1

3

，
∴cos2β=2cos²β-1=-

7

9

；
（2）∵cosβ=-

1

3

，β∈（

π

2

，π），∴sinβ=

1-cos2β

=

2 2

3

，
∵α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），∴α+β∈（

π

2

，

3π

2

），
又sin（α+β）=

7

9

，∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4 2

9

，
则sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=

7

9

×（-

1

3

）+

4 2

9

×

2 2

3

=

1

3

．