题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|z₁-z₂|=1．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）若-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，且sinβ=-

3

5

，求sinα的值．

答案

（1）∵复数z₁=cosα+isinα，z₂=cosβ+isinβ，|
∴z₁-z₂=（cosα-cosβ）+i（sinα-sinβ），
又∵|z₁-z₂|=1，
∴

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=1，
化简得

2-2cosαcosβ-2sinαsinβ

=1
2-2cos（α-β）=1
∴cos(α-β)=

2-1

2

=

1

2

．
（2）∵-

π

2

＜β＜0＜α＜

π

2

，所以0＜α-β＜π，
由（1）得cos(α-β)=

1

2

，∴sin（α-β）=

3

2

又∵sinβ=-

3

5

，-

π

2

＜β＜

π

2

，
∴cosβ=

4

5

.
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ
=

3

2

×

4

5

+

1

2

×(-

3

5

)=

4 3 -3

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