题目

题型：不详难度：来源：

已知：f（x）=2

3

cos²x+sin2x-

3

+1（x∈R）．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）若x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求f（x）的值域．

答案

f（x）=sin2x+

3

（2cos²x-1）+1
=sin2x+

3

cos2x+1
=2sin（2x+

π

3

）+1---------------------------------------（4分）
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π------------------（5分）
（Ⅱ）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

得2kπ-

5π

6

≤2x≤2kπ+

π

6

∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z
函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z-----------------（9分）
（Ⅲ）因为x∈[-

π

4

，

π

4

]，∴2x+

π

3

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，∴f（x）∈[0，3]．-----------------------------------（13分）