题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

若f（x）=x²-x+b，且f（log₂a）=b，log₂[f（a）]=2（a≠1）．
（1）求f（log₂x）的最小值及对应的x值；
（2）x取何值时，f（log₂x）＞f（1）且log₂[f（x）]＜f（1）？

答案

（1）∵f（x）=x²-x+b，∴f（log₂a）=log₂²a-log₂a+b．
由已知有log₂²a-log₂a+b=b，∴（log₂a-1）log₂a=0．（3分）
∵a≠1，∴log₂a=1．∴a=2．（5分）
又log₂[f（a）]=2，∴f（a）=4．
∴a²-a+b=4，b=4-a²+a=2．（8分）
故f（x）=x²-x+2，从而f（log₂x）=log₂²x-log₂x+2=（log₂x-

1

2

）²+

7

4

．
∴当log₂x=

1

2

即x=

2

时，f（log₂x）有最小值

7

4

．（12分）
（2）由题意

log22x-log2x+2＞2 log2(x2-x+2)＜2

⇒

x＞2或0＜x＜1 -1＜x＜2

⇒0＜x＜1．（16分）