题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

对于区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果任意x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁（x）=log_a（x-3a）与f₂（x）=log_a

1

x-a

（a＞0，a≠1）
（1）求f₁（x）-f₂（x）的定义域；
（2）若f₁（x）与f₂（x）在整个给定区间[a+2，a+3]上都有意义，
①求a的取值范围；
②讨论f₁（x）与f₂（x）在整个给定区间[a+2，a+3]上是不是接近的．

答案

（1）因为f₁（x）-f₂（x）=log_a（x-3a）-log_a

1

x-a

（a＞0，a≠1），
所以要使函数有意义，则

x-3a＞0 1 x-a ＞0

，即

x＞3a x＞a

，所以x＞3a．
定义域为（3a，+∞）…（1分）
（2）①由3a＜a+2∴0＜a＜1…（2分）
②若f₁（x）与f₂（x）在[a+2，a+3]上接近则|log2(x-3a)-loga

1

(x-a)

|≤1恒成立即a≤(x-3a)(x-a)≤

1

a

…（4分）

∵0＜a＜1∴函数y=(x-3a)(x-a) 在[a+2，a+3]上单调递增∴ymax=9-6a，y min=4-4a ∴ 4-4a≥a 9-6a≤ 1 a ∴0＜a≤ 9- 57 12

因此， 当0＜a≤ 9- 57 12 时，f1(x)与f2(x)在[a+2，a+3]上接近.

当

9- 57

12

＜a＜1时，f1(x)与f2(x)不接近．…（8分）