题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）．
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？

答案

（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216-x）人．
∴g（x）=

4000

6x

，h（x）=

3000

(216-x)•3

，
即g（x）=

2000

3x

，h（x）=

1000

216-x

（0＜x＜216，x∈N^*）．
（2）g（x）-h（x）=

2000

3x

-

1000

216-x

=

1000•(432-5x)

3x(216-x)

．
∵0＜x＜216，
∴216-x＞0．
当0＜x≤86时，432-5x＞0，g（x）-h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432-5x＜0，g（x）-h（x）＜0，g（x）＜h（x）．
∴f(x)=

2000 3x ，0＜x≤86，x∈N+ 1000 216-x ，87≤x≤216，x∈N+

（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值．
当0＜x≤86时，f（x）递减，
∴f（x）≥f（86）=

2000

3×86

=

1000

129

．
∴f（x）_min=f（86），此时216-x=130．
当87≤x＜216时，f（x）递增，
∴f（x）≥f（87）=

1000

216-87

=

1000

129

．
∴f（x）_min=f（87），此时216-x=129．
∴f（x）_min=f（86）=f（87）=

1000

129

．
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129．