题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（本小题满分14分）已知函数，，为常数．
（1）  求函数的定义域；
（2）  若时，对于，比较与的大小；
（3）  讨论方程解的个数．

答案

解:（1）由，得：，             
∴函数的定义域．              ……………………………………3分
（2）令，
则时，。
又
（仅在时，）
∴在内是增函数，                   ……………………………………6分
∴当时，，；
当时，    ，；
当时，　，．    ……………………………………8分
（3）讨论方程解的个数，即讨论零点的个数．
因为，
所以
①当时，，，所以
（仅在时，）
在内是增函数，
又，
所以有唯一零点；                              ……………………………………9分
②当时，由（2）知有唯一零点；           ……………………………………10分
③当时，，
（仅在时，）
所以在内是增函数，
又，
所以有唯一零点；                             ……………………………………11分
④当时，，

，或时，，递增，
时，，递减．
, ;
时， ; 时， ，
∴在区间，及内各有一个零点．
……………………………………13分
综上，当时，方程有唯一解；
当时，方程有三个解．      ……………………………………14

解析

略