题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(13分,理科做)已知函数的定义域为,且同时满足:①;②恒成立;③若,则有.
(1)试求函数的最大值和最小值;
(2)试比较与的大小N);
(3)某人发现:当x=(nÎN)时,有f(x)<2x+2.由此他提出猜想:对一切xÎ(0,1,都有,请你判断此猜想是否正确,并说明理由.
答案
由条件③得,f(x2)=f(x1+t)³f(x1)+f(t)-2,
∴f(x2)-f(x1)³f(t)-2,
由条件②得, f(x2)-f(x1)³0,
故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).
又在条件③中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,
故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.
(2)解:在条件③中,令x1=x2=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],
故当nÎN*时,有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤···≤[f()-2]=,
即f()≤+2.
又f()=f(1)=3≤2+,所以对一切nÎN,都有f()≤+2.
(3)对一切xÎ(0,1,都有.对任意满足xÎ(0,1,总存在n(nÎN),使得
<x≤, 根据(1)(2)结论,可知:f(x)≤f()≤+2,
且2x+2>2´+2=+2,故有.
综上所述,对任意xÎ(0,1,恒成立.
解析
核心考点
试题【(13分,理科做)已知函数的定义域为,且同时满足:①;②恒成立;③若,则有.(1)试求函数的最大值和最小值;(2)试比较与的大小N);(3)某人发现:当x=(n】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)当时,求函数在上的值域,并判断函数在上是否为有界函数,请说明理由;
(Ⅱ)若是上的有界函数,且的上界为3,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,求函数在上的上界的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
A.<< | B.<< |
C.<< | D.<< |
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