题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数，且定义域为（0，2）.
(1）求关于x的方程+3在（0，2）上的解；
（2）若是定义域(0，2)上的单调函数，求实数的取值范围；
（3）若关于x的方程在（0，2）上有两个不同的解，求k的取值范围。

答案

(1）（2）（3）

解析

本试题主要是考查了函数与方程的思想的综合运用。
（1）,+3即，对于定义域分段讨论得到解的情况。
（2）因为是定义域(0，2)上的单调函数，结合函数与图像的关系式得到结论。
（3）关于x的方程在（0，2）上有两个不同的解，那么借助于图像得到结论。
解（1）,+3即
当时，，此时该方程无解. ……1分
当时，，原方程等价于：此时该方程的解为.
综上可知：方程+3在（0，2）上的解为.……3分
（2），
………4分
，…………5分
可得：若是单调递增函数，则  …6分 
若是单调递减函数，则，………7分
综上可知：是单调函数时的取值范围为.…8分
（2）[解法一]：当时，，①
当时，，②
若k=0则①无解，②的解为故不合题意。…………9分
若则①的解为，
（Ⅰ）当时，时，方程②中
故方程②中一根在（1，2）内另一根不在（1，2）内，…………10分
设，而则  又，故，………11分
（Ⅱ）当时，即或0时，方程②在（1，2）须有两个不同解，12分
而，知方程②必有负根，不合题意。……13分
综上所述，………14分
[略解法二]，………9分
  ,………10分
分析函数的单调性及其取值情况易得解（用图象法做，必须画出草图，再用必要文字说明）……………13分
利用该分段函数的图象得……………………14分