题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)求函数的单调区间,并确定其零点个数;
(2)若在其定义域内单调递增,求的取值范围;
(3)证明不等式 ().
答案
(2)
(3)由(2)可知 当时,在内单调递增,
而所以当时, 即 放缩法来得到。
解析
试题分析:解:(1) 1分
则
2分
(i)若,则当时,;当时,
所以 为的增区间,为的减区间. 3分
极大值为
所以只有一个零点.
(ii)若,则当时,;当时,
所以 为的减区间,为的增区间.
极小值为 4分
所以只有一个零点.
综上所述,
当时,为的减区间,为的增区间,有且只有一个零点;
当时,为的增区间,为的减区间,有且只有一个零点.
5分
(2)
6分
由在其定义域内单调递增,可知,恒成立.
则 恒成立. 7分
(法一)由二次函数的图象(开口向上,过定点)可得或
8分
则 或
则 或
得 .
可以验证 当时在其定义域内单调递增
故 . 9分
(法二)分离变量
因 (当且仅当,即时取到等号) 8分
所以 , 则.
可以验证 当时在其定义域内单调递增
故 9分
(3)由(2)可知 当时,在内单调递增,
而
所以当时,
即 10分
令 ,
则 11分
则
所以 ,, , ,,
以上个式子累加可得
12分
则
则 13分
则
故 (). 14分
点评:主要是考查了导数在研究函数单调性以及函数与不等式中的运用,属于中档题。
核心考点
举一反三
(1)当,求的取值范围;
(2)若对任意,恒成立,求实数的最小值.
A.5 | B.6 | C.7 | D.8 |
(1)当a=-1时,求的最大值;
(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值;
(3)当a=-1时,试推断方程是否有实数解 .
(2)= .
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