题目
题型:解答题难度:简单来源:不详
(1)设函数,求函数的单调区间;
(2)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
解析
试题分析:(I)因为,函数,.
所以=-lnx,其定义域为(0,+)。,
当a=0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减;
当a>0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减;
当a<0时,由f′(x)>0,得,,故f(x)在(,+∞)上单调递增,在(0,)单调递减。
(Ⅱ)把方程整理为,
即为方程. 5分
设 ,原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点. 6分
7分
令,因为,解得或(舍) 8分
当时, , 是减函数;当时, ,是增函数 10分
在()内有且只有两个不相等的零点, 只需
即 ∴
解得, 所以的取值范围是() .
点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。(I)中要对a的不同取值情况加以讨论,在解不等式取舍过程中易于出错。涉及不等式恒成立问题,转化成了研究函数的最值,通过构建a的不等式组,求得a的范围。涉及对数函数,要特别注意函数的定义域。
核心考点
试题【已知函数,.(1)设函数,求函数的单调区间; (2)是否存在实数,使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)要使函数在上f (x)恒成立,求a的取值范围.
值为 ______________ .
(1)设,求用表示的函数关系式;
(2)如果是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,的位置应在哪里?如果是参观线路,则希望它最长,的位置又应在哪里?请说明理由.
(Ⅰ)解不等式: ;
(Ⅱ)若,求证:≤.
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