题目

题型：解答题难度：困难来源：湖南省高考真题

已知函数f (x) =x³，g (x)=x+。
（Ⅰ）求函数h (x)=f (x)-g (x)的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）设数列{a_n}（n∈N*）满足a₁=a（a＞0），f(a_n+1)=g(a_n)，证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有a_n≤M。

答案

解：（Ⅰ）由知，，
而h（0）=0，且，
则x=0为h（x）的一个零点，且h（x）在（1，2）内有零点，
因此h（x）至少有两个零点，
，记，则，
当时，，因此ψ（x）在（0，+∞）上单调递增，
则ψ（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点。
又因为，
则ψ（x）在内有零点，所以ψ（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点。
记此零点为x₁，则当时，；
当时，；
所以，当时，h（x）单调递减，而h（0）=0，则h（x）在内无零点；
当时，h（x）单调递增，则h（x）在内至多只有一个零点；
从而h（x）在（0，+∞）内至多只有一个零点；
综上所述，h（x）有且只有两个零点。
（Ⅱ）记h（x）的正零点为x₀，即，
（1）当时，由，即，
而，因此，由此猜测：。
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当时，有成立，
则当n=k+1时，由知，，
因此，当n=k+1时，成立。
故对任意的n∈N*，成立。
（2）当时，由（1）知，h（x）在上单调递增，则，
即。
从而，即，由此猜测：。
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有成立，
则当n=k+1时，由知，，
因此，当n=k+1时，成立。
故对任意的n∈N*，成立。
综上所述，存在常数，使得对于任意的n∈N*，都有。