题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省高考真题

已知a是实数，函数f（x）=2ax²+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

答案

解：若a=0，则函数f（x）=2x-3在区间 [-1，1]上没有零点，
下面就a≠0时分三种情况讨论：
 （1）方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有重根
此时Δ=4（2a²+6a+1）=0
解得
当时，f（x）=0的重根x=；
当时，f（x）=0的重根；
故当方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有重根时，；
（2）f（x）在区间[ -1，1]上只有一个零点且不是f（x）=0的重根
此时有f（-1）f（1）≤0
∵f（-1）=a-5
f（1）=a-1
∴（a-5）（a-1）≤01≤a≤5
∵当a=5时，方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两个相异实根，
故当方程f（x）=0在区间[-1，1]上只有一个根且不是重根时，1≤a<5。
（3）方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两相异实根
因为函数
其图象的对称轴方程为
a应满足：
解不等式组（i）得a≥5
解不等式组（ii）得
故当方程f（x）=0在区间[ -1，1]上有两个相异实根时

注意到当1≤a<5时，f（-1）f（1）≤0，方程f（x）=0在区间 [ -1，1]上有根；
当时，由于，且
方程f（x）=0在[ -1，1]上有根；
当时，方程f（x）=0在区间[-1，1]有根
综上所述，函数y=f（x）在区间[ -1，1]上有零点，则a的取值范围是。