题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省高考真题

已知二次函数y=g（x）的导函数的图像与直线y=2x平行，且y=g（x）在x=-1处取得极小值m-1（m≠0），设，
（1）若曲线y=f（x）上的点P到点Q（0，2）的距离的最小值为，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值时，函数y=f（x）-kx存在零点，并求出零点。

答案

解：（1）依题可设(a≠0)，
则，
又g′（x）的图像与直线y=2x平行，
∴2a=2，a=1，
∴，
设，
则
，
当且仅当时，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值，
当m＞0时，；
当m＜0时，；
（2）由，
得，（*）
当k=1时，方程（*）有一解，函数y=f（x）-kx有一零点；
当k≠1时，方程（*）有二解，
若，
函数y=f（x）-kx有两个零点；
若，
函数y=f（x）-kx有两个零点；
当k≠1时，方程（*）有一解，
函数y=f（x）-kx有一零点；
综上，当k=1时, 函数y=f（x）-kx有一零点；
当时，函数y=f（x）-kx有两个零点；
当时，函数y=f（x）-kx有一零点。