题目

题型：解答题难度：困难来源：天津高考真题

设函数f(x)=x³+x²+(m²-1)x(x∈R)，其中m＞0，
(Ⅰ)当m=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间与极值；
(Ⅲ)已知函数f(x)有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立，求m的取值范围．

答案

解：(Ⅰ)当m=1时，，
f′(x)=-x²+2x，故f′(1)=1，
所以曲线y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线的斜率为1。
(Ⅱ)f′（x）=x²+2x+m2-1，
令f′(x)=0，解得x=1-m或x=1+m，
因为m＞0，所以1+m＞1-m，
当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：

 所以f(x)在（-∞，1-m），(1+m，+∞)内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数，
函数f(x)在x=1-m处取得极小值f(1-m)，且，
函数f(x)在x=1+m处取得极大值f(1+m)，且。
(Ⅲ)由题设，，
所以方程有两个相异的实根x₁，x₂，
故，且，
解得（舍）或，
因为x₁＜x₂，所以，故，
若，则，
而f(x₁)=0，不合题意，
若1＜x₁＜x₂，对任意的x∈[x₁，x₂]，有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则，
又f(x₁)=0，所以 f(x)在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f(x)＞f(1)恒成立的充要条件是，
解得；
综上，m的取值范围是。