题目

题型：解答题难度：困难来源：广东省高考真题

已知a是实数，函数f(x)=2ax²+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围．

答案

解：若a=0，则函数f(x)=2x-3在区间[-1，1]上没有零点。
下面就a≠0时分三种情况讨沦：
(1)方程f(x)=0在区间[-1，1]上有重根，此时△=4(2a²+6a+1)=0，
解得，
当时，f(x)=0的重根；
当时，f(x)=0的重根；
故当方程f(x)=0在区间[-1，1]上有重根时，；
(2)f（x）在区间[-1，1]上只有一个零点且不是f(x)=0的重根，此时有f(-1)f(1)≤0，
∵f(-1)=a-5，f(1)=a-1，
∴（a-5）（a-1）≤0，即1≤a≤5，
∵当a=5时，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两个相异实根，
故当方程f(x)=0在区间[-1，1]上只有一个根且不是重根时，1≤a＜5；
(3)方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两个相异实根，
因为函数，
其图象的对称轴方程为，a应满足
(Ⅰ)或(Ⅱ)，
解不等式组(Ⅰ)得a≥5，
解不等式组(Ⅱ)得，
故当方程f(x)=0在区间[-1，1]上有两个相异实根时，，
注意到当1≤a＜5时，f(-1)f(1)≤0，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；
当时，
由于＜0，且，方程f(x)=0在[-1，1]上有根；
当时，方程f(x)=0在区间[-1，1]上有根；
综上所述，函数y=f(x)在区间[-1，1]上有零点，则a的取值范围是。