题目

题型：解答题难度：一般来源：山东省期末题

已知函数f（x）=a^x+x²﹣xlna（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，求t的值．

答案

解：（Ⅰ）f"（x）=a^xlna+2x﹣lna=2x+（a^x﹣1）lna
由于a＞1，
故当x∈（0，+∞）时，lna＞0，a^x﹣1＞0，
所以f"（x）＞0，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
（Ⅱ）当a＞0，a≠1时，因为f"（0）=0，且f"（x）在R上单调递增，
故f"（x）=0有唯一解x=0
所以x，f"（x），f（x）的变化情况如表所示：
  
又函数y=|f（x）﹣t|﹣1有三个零点，
所以方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t﹣1，
所以t﹣1=（f（x））_min=f（0）=1，
解得t=2．