题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

如果关于x的方程ax+

1

x2

=3在区间（0，+∞）上有且仅有一个解，那么实数a的取值范围为______．

答案

由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程 ax+

1

x2

=3有且仅有一个正实数解，
即方程ax³-3x²+1=0有且仅有一个正实数解，
即方程a=-

1

x3

+

3

x

有且仅有一个正实数解
讨论函数y=-

1

x3

+

3

x

的单调性，得（0，1）上函数为增函数，（1，+∞）上函数为减函数且函数值大于0
作出函数y=-

1

x3

+

3

x

的图象与直线y=a，如图所示

根据图象可得：当a≤0或a=2时在（0，+∞）上有且仅有一个交点．
故答案为：a≤0或a=2