题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²+mx+n有两个零点-1与3
（1）求出函数f（x）的解析式，并指出函数f（x）的单调递增区间；
（2）若g（x）=f（|x|）对任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0成立，试求实数t的取值范围．

答案

（1）∵函数f（x）=x²+mx+n有两个零点-1与3，∴

-1+3=-m -1×3=n

，即

m=-2 n=-3

，
∴f（x）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴函数的增区间为[1，+∞）．
（2）∵g（x）=f（|x|）=x²-2|x|-4=

x2-2x-3，x≥0 x2+2x-3，x＜0

，∴它的增区间为[1，+∞）、[-1，0]．
对任意x₁，x₂∈[t，t+1]，且x₁≠x₂，都有

g(x1)-g(x2)

x1-x2

＞0成立，
∴区间[t，t+1]在函数g（x）的增区间内，∴t≥1，或

t+1≤0 t≥-1

．
解得t≥1，或t=-1．